前两天写了篇文章，《未知的必然、必要和必需》，提到一些人钻牛角尖最后自己吃亏的道理。有些留言对其他读者很有价值，比如这一个：
lingualeox：这种感觉曾经让我吃了很大的亏。记得大学里学微积分时，关于极限的定义部分，怎么都觉得别扭。所以一直就想弄明白。但偏偏就是不明白。结果无心学下去。直到大学毕业后，不经意间突然就明白了。概括来说是：如果两个东西，他们之间的差别总能达到你提出的任何一个条件，那么他们就是相等的。（误差小到任意要求，它们就是相等的）例子是：（0.333…）x3=0.999…=1 （虽然表面上看后一个等号是有点可疑的。）
很多重要的道理不太容易举出对所有人都适用的，让所有人都“恍然大悟”的例子。也正因为如此，很多的重要道理往往非常难以传递。不过，互联网给我们一个特殊的机会：我们可以把自己的经历拿出来共享，参与的人多到一定程度之时，后来者无论是谁都可能在许多例子中见到一个“这不就是在说我么！”似的震惊。请大家把自己曾经钻过的、现在明白浪费了很多时间精力甚至耽误了进程导致失败的那些“牛角尖”拿出来共享，以留言的形式发布在这个帖子下面……谢谢！
{ 42 comments… read them below or add one }
这个好,有些牛角尖对别人来说不是。
偶数集合，奇数集合，自然数集合，整数集合。这四个集合哪个集合里的元素更多？答案：一样多。
不过这个例子很多都是由于人们直接把有穷的经验套用到无穷上，但实际无穷的运算规则和有穷有很大不同。比如 lingualeox 最后提到的那个等式。我不知道他的 0.333… x 3 = 0.999… 是怎么计算的，但如果是每位做 3 x 3 = 9 的计算的到的，则这个计算过程是错的（虽然结果是对的），因为有穷小数乘法是从最后一位开始乘起的，如要套用，请先找到无穷小数 0.333… 的最后一位开始算。
当然，换成分数 1/3 后计算是正确的，不过这样就会直接得到 1 ，而不是 0.999… 。
“偶数集合，奇数集合，自然数集合，整数集合。这四个集合哪个集合里的元素更多？答案：一样多。”
一点补充：印象中在这本书里提过（关于计算复杂度），
Introduction.to.the.Theory.of.Computation
记得以前老师问这个问题时， 我说是1/3 *3
有个自学完微积分的同学说 这是傻屄证法。
有一本经典科普书《从一到无穷大》里提到过，当时读到的时候还是挺意外的，还有有理分数和正整数也是相等的~~
正如笑来提到的，关于极限的例子“这不就是在说我么!”，不过，我自己已经明白了，但是这个留言让我知道不只是我经常钻牛角尖啊。。。
这个是可列集之间互相对等吧，一一对应过去了。
文章里的例子很好，要是看作数列，X1=0.3，X2=0.33…，那么3Xn=（10^n – 1）/(10^n)。这个数不比1大，但比所有不到1的数都大，显然就是1。
你不是很晕吗,0.333……= 1/3,得证 .
还有,以此论点”如果两个东西，他们之间的差别总能达到你提出的任何一个条件，那么他们就是相等的。”
出发. 如果你能举出, 0.9999999……….和1之间的差别来. 那么你举出的这个差别,也就是你举出的那个, 0.00000001.总是被0.0000000099999999999这个要求满足.不信,你再举出一个来.
这个画等号 要画上, 要等无限年..因为这是个关于无限的概念. 所以我认为不太合适用在这里. 比方你说爱有圆满. 永远有多远. 那个1是有张力.
可能算不上牛角尖，但这个东西着实让我浪费多了不少时间！（希望对某些人有用，更希望有高手帮我用个高明的办法解决）
内容： 关于VTK环境配置
操作：（windows环境）按照vtk里的readme说的，cmake一下（那个cmake prefix目录是放库文件、头文件的地方），然后打开生成的工程，build all 然后 build install（这会在cmake prefix后面设的目录里会有相应的文件）。
接下来多数人想做的肯定是自己copy个例子（或是自己写个）程序，然后建个工程自己build一下：我用example目录里的例子这样做的时候还是遇到了错误。
建议：新建一个简单的c++文件（有main就ok），然后用例子目录中的CMakeLists.txt（需要把c++文件名改下）和Cmake建工程，在这个工程环境里再写代码就不会出错了（并不知道具体原因，估计是工程环境配置问题。这之后就可以进入主题了，免得在cmake上徘徊太久）。
看着这个才知道，原来我数学没学好 就是因为钻牛角尖阿！
牛角尖：联想天逸F40M，外接dell2209wa显示器，ubuntu和黑苹果都无法支持最高分辨率（1680*1050）。折腾了无数的时间，一直以为是驱动的问题。最终发现，应该是联想这台垃圾电脑的显卡不行。
证据：win7下能上最高分辨率，有明显波纹，另一台n年前的IBM血统的小黑R41e，完美支持2209。
用联想的同学可能不多，希望以后买之前三思！！
呵呵，这么高分辨率的全高清显示器，一定要用DVI数字接口才能保证图像质量，即使模拟接口能达到这个分辨率，效果也不一定好。不过笔记本没办法，只能上模拟口，我这个笔记本的D-sub输出就是模糊，输出给17寸的1280×1024的显示器都模糊。
这个不一定，如果处理得好，vga接1080p也可以实现很好的效果，只不过现在大部分电视在这部分偷工减料了
6年前钻进复杂的指标组合,江恩,数波浪中,3年前发现只要有道氏,简单的画图就可以给我稳定的收益.
操作系统和软件是用来用的，不是用来优化的。
拿来之后，只要设定成自己顺手的样子即可，不需要为了那么一丁点的性能去关服务（特别是这个）、修改注册表、删除垃圾文件等等操作，一旦除了问题，所花的时间成本远远大于提升一丁点性能所给你的好处和“快感”。尤其是nt6核心以及之后的系统。
另外，目前的电脑硬件完全够你用了，充其量加大下内存即可。不要去想任何超频or改硬件参数的事，一旦出现某些隐形的小问题（内存方面，我曾经碰过因为把内存的时序参数调低，结果无线信号找不到），排错上所花的时间会折腾死你。
最好的优化方法，多点花钱买更好的硬件，在够用就好的原则下。
严重同意。
其实还是直接换mac就好了，直接无视硬件的问题。只专注于软件上面的应用就好了。
同意,有时候觉得,一直在优化超频都不知道是为了什么?够用就好.用来做什么东西才是最重要的.
转牛角尖也是完美主义一种表现吧？
再加一条，折腾黑苹果也是牛角尖的一种。为了在天逸F40M上安装并正常使用macOS，我至少装了10遍才基本完美驱动起来。还不算备份数据等准备工作时间。
直接上macbook就成了，省多少时间和精力啊——为了提高工作效率，结果搭进去好几个星期折腾它。
文章中的牛角尖例子只不过是把极限定义的各种希腊字母用实体表示而已. 没有针对个人的意思, 我觉得lingualeox当时就没有理解好这个概念.
定义会背。也可以按照定义的步骤证明。可是，就觉得自己像机器人一样。
我觉得前一个阶段是处于知道的状态（但内心不是很悦纳的）；后一个阶段是觉得“这是我所知的最好的方法了”（心悦诚服）。
从表达严谨看，用数学符号定义当然是高于你所说的“实体”表示；但从容易接受和启发性方面，“实体”表示更优于严谨的定义。我觉得后一种表达方式像种子一样，会发芽，而不仅仅只是换了一种说法而已。
0.333… x 3 = 0.999… 这个例子没有体现出极限的精神实质，没有体现出“逼近”来，这个例子非常不恰当
摘自《卓有成效的程序员》
别给牦牛剪毛
最后，别让自动化的努力变成“剪牦牛毛”──这是一句在计算机科学界源远流长的黑话，它代表了诸如此类的情况：
1.你打算根据Subversion日志自动生成一些文档。
2.你尝试给Subversion加上一个钩子，然后发现当前使用的Subversion版本与你的web服务器不兼容。
3.你开始更新web服务器的版本，随后又发现这个新版本在操作系统当前的这个补丁级别上不被支持，于是你开始更新操作系统。
4.操作系统的更新包存在一个已知的问题，与用于备份的磁盘阵列不兼容。
5.你下载了尚未正式发布的针对磁盘阵列的操作系统补丁，它应该能用……它确实能用，但又导致显卡驱动出了问题。
终于在某个时候，你停下来回想自己一开始到底是想干什么。然后你发现自己正在给牦牛剪毛，这时你就应该停下来想想：这一大堆牦牛毛跟“从Subversion日志生成文档”到底有什么关系呢？
剪牦牛毛是件危险的事，因为它会吃掉你大把的时间。这也能解释为什么任务工作量估算常常出现偏差：剪光一头牦牛的毛需要多少时间？始终牢记你到底要做什么，如果情况开始失控就及时抽身而出。
始终牢记你到底要做什么，如果情况开始失控就及时抽身而出。
很多时候是在做某个任务时你忽然觉得有更好的方法，转而去研究该方法，结果在该方法上花费了大量的时间却没有完成本该完成的任务。而实际上该方法确实能够大大的提高效率。哪怎么办呢？这似乎是一个悖论。
我的办法是给他设定一个时间值，超过20分钟的话，我会记下该想法并回到原来的任务，完成后再继续研究。
贡献一个没那么科学的吧。
和朋友玩，其中有一个是很有好感很在乎的，发现他也对别的女生殷勤，并且试图隐瞒这些事情时，非常痛苦郁闷。这种痛苦郁闷一方面来自于对他的在乎，另一方面来自于想不通如果算是朋友，有什么不能说的呢，特别是都已经说破了。朋友开导说，人家不想和你说自有原因，不要去无谓地揣测别人的心思，并以此来困扰自己；自己的感受最重要，何必执念于那些让自己不快的事情？这样就把思路放开了，也不再钻牛角尖了
连续玩竞技游戏，赢到了一定时限后，竞技状态早已不在巅峰区，于是开始输。此时最理性的做法就是收手，但总是收不了手，直到输的一塌糊涂。
我有半年时间不留言了,因 为我去钻牛角尖去了.但我现在终于明白了.
别人的老婆再好,那也是别人的.
小时候最纠结的事：宇宙到底有没有边？如果有，那边外边又是什么？
三年前，准备GRE时发现美国研究生入学考试的写作题库话题广泛，挺看重逻辑思维。痛感学了N年自以为阅读广泛，也学了形式逻辑–在GRE前也不够用。我当时就钻了个牛角尖：看逻辑方面的书，研究写作。
三年后，我最近还在研究写作。不过忘了重要的事，我搞这些搞得太深入了，忘了当初的目的—是要去美国念书。
还有其他的一些日常学习，有很多新东西一开始肯定问题很多，但不要纠缠太久。相信问题会有解决的–不一定在当下，也可以在将来–不停止学习应用才是王道。
想起某个老师曾提到种种现象，有许多学生因为“钻牛角尖”，变成了所谓的美国英语俚语收集者、发音爱好者、段子爱好者，疯狂粉丝等。
其实都忘了学英语是为了当门语言工具来用的。目的不明确，没有时间成本收益观念，我们看似花了大量时间精力，做了不少事，事情也没有做成多少。
我大一大二时几乎每天早读喊英语，自认为、别人也认为最花时间，可是我只是比不努力的同学好一点点。
两年来我没有好好看一本语法书，没有看什么英语文章，没有认真弄懂一篇文章（语法、单词用法、结构、写作风格等），没有认真去听懂一篇文章，似乎都在似懂的地步。
—-大学毕业时听说读写也没有过关—直到去当助教时才痛苦意识到我在学习过程中在回避某些该做的工作。我一度变成“大声喊英语”的追随者，而没有好好学以致用，好好学英语。
因为“没有时间”，我在学期中间放弃了翻译英文教材The Introduction of Jurisprudence. 今年我重新到书店买了一本，我努力克制心中泛起的“后悔”之意，开始着手认真翻看，并选一引起经典段落分析它的表达法（句子组织），我慢慢感受到重回起点的喜悦。
将来我当了老师，会告诉学生：你们如今的困惑，并不孤独。
只是醒得越早越好。
更正：
1.上面倒数第三段末句应为“…好好学以致用，好好用英语..”；
2.倒数第二段末句应为”…并选一些经典段落…”
跟你有过同样的问题。。。
当初为了准备出国考试对逻辑写作沉迷太深。。。自己专业丢了好多。。。唉
曾经对相对论的时间空间很迷糊，就买了本书看，看完更迷惑了
其实很多人都有钻牛角尖的毛病，有时候很不好。浪费时间
不过变革就在钻牛角尖之中
我也纠结过很长时间，宇宙到底有没有边~~
其实对任何事物不可控制的沉迷都是一种钻牛角尖
有的同学，学数学时，经常一个定理弄不明白，就受打击，无心做题，以为自己做不出来，其实是利用定理来做题，通过做题加深对定理的理解，这两个过程是要循环若干次的。其实我上高中时，老师讲到极限定义，我也崩溃了，那时对于学习从来也没遇到过这种情况，对于极限的不理解，跟学其他知识点的不理解，是截然不同的，那对自信心的打击可不是一般的，老师单独给我讲时，我竟然哭了。上大学，竟然阴差阳错，学的信息与计算科学，大一的第一学期，几乎每堂课都是半懂不懂的，直接就练皮实了，幸好那时采取的就是“带着未知学习未知”的策略，回头想想还有点冒冷汗呢。不过想想最近几年的心态，真的没那时好，做的也没那时好。。。
仅就“误差小到任意要求，它们就是相等的”说一句，
库萨的尼古拉斯在《论有学识的无知》中认为“相等只是一个程度问题”。
被女朋友劈腿，一开始想不通：为什么啊，为什么啊，我哪里不好，那个人是谁。她为什么要这样
后来就好好工作，想不通就不想。等以后自己做得足够出色了，也许又会遇到什么人，这个坎自然就跨过去了。
前一段时间总是想，为什么自己要来到这里，来到这里的意义是什么？为什么要存在，很痛苦。。。。这也算钻牛角尖吧！
不过现在好了
记得刚开始学德语的时候，有一段时间总在寻找所谓的好的学习方法（好像在后来进入中级阶段的时候，依旧挣扎过），总想要找到一个适合自己的高效率的学习语言的方法或者习惯，为此做过了不少尝试，也花了不少精力和时间。
而到头来却发现别人的那些经验自己根本就用不上，最有效的学习方法就是珍惜当下的时间，用自己多年来习惯的方式去学习，在学习的过程中很多有效的方法自然而然地就会出现在你的脑海里。而别人那些经验之谈说的即使多么动听，那也是别人的体验，我们需要做的就是坚持学习，然后在自己的学习中总结自己的方法和经验。
所以，过多地强调所谓的最有效的学习方法是我曾经钻过的牛角尖。
正如笑来在书中强调过的：方法固然重要，但是比起“用功”，方法可以忽略不计。